ということになる．よし，掌握．
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一言 「獣の数字？」
初出: 2006/06/06 T.Shirai
更新: 2006/06/06 T.Shirai
ウソではありません．いまは’０６年０６月０６日PM０６時０６分です（本当に偶然です．分単位は狙いましたが）．数字マニアという訳では全くありませんが，やはりキリの良い数字は好きですね(注)．さて，今週は中間試験です．私も自分の授業以外の一般科目の試験監督も行ないます．今日は数学Ｉ（１年生）でした．今回の試験問題は暇つぶしには非常に良く，かなり悩ませて貰いました（もちろん，きちんと監督もした上です）．
(注)
私にとって，64，128，256，512，1024，2048，4096もキリの良い数字なのですが，一般社会で賛同を得るのは困難です．
その中の一問，しばらく解けませんでした．
| （循環数） | ６．０６０６０６．．．． を分数で表せ． |
答えは ２００／３３ です．どう解けば良いのかと言えば以下の通り．
（１） ６．０６０６０６．．．＝６６．６６６６６．．．−６０．６０６０６０．．．
唐突ですが，これはＯＫですよね．
（２） ちなみに，６６．６６６６６．．．．＝（２／３）×１００ ですね．
（３） ここで，ｘ＝６．０６０６０．．． とおくと，６０．６０６０６０．．．＝１０
ｘ
つまり，
（４） ｘ ＝ （２／３）×１００ − １０ｘ と，（１）から（３）から言えますので，これを移項したりしてまとめると，
（５） １１ｘ ＝ （２／３）×１００ ＝ ２００／３
（６） ｘ ＝ ２００／３３
ということです．
なるほど，循環数か．思い付くのは１／３が0.33333....であるということ．ここからスタートして色々と考えたが答えに辿り付かなかった．ネックは，１／３の”循環の単位が一桁”であること．
（循環の単位が一桁）
ここから考えつくのは”好きな循環数を作るには何か基本ルールがあるはずだ”．
１／３を３で割れば０．１１１１１１１．．．
つまり（１／９）×ｎとすれば（ｎは一桁の自然数），０．１１１１１．．．から０．９９９９９．．．まで好きな１桁の循環数になる．
（循環の単位が二桁）
次に思い付いたのが０．０１０１０１０１．．．は何だろう？
６．０６０６０６０６０６．．．＝200/33を導出したアルゴリズムを用いれば，これは１／９９．
（念のために）
ｘ ＝ ０．０１０１０１０１．．．．
ｘ ＝ ０．１１１１１．．．． − １０ｘ
１１ｘ ＝ １／９
ｘ ＝ １／９９
つまり（１／９９）×ｎとすれば（ｎは二桁の自然数），０．０１０１０１．．．から０．９９９９９９．．．．までの好きな二桁の循環数になる．
オリジナルの問題をこの考え方で解けば，
６．０６０６０６０６．．． ＝ （１／９９）×６＋６ ＝ （６＋６×９９）／９９ ＝ （２＋２×９９）／３３ ＝ ２００／３３
合っていますね．ヨカッタ．
（循環の単位が三桁）
もう言うまでも無いですが，（１／９９９）×ｎ（ｎは三桁の自然数）で良い．試しに電卓で（１／９９９）×１２３とすれば，
0.12312312312312312312312312312312．．．(CALC.EXE) た，たのしいぞ．
（念のために）
ｘ ＝ ０．００１００１００１．．．．
ｘ ＝ ０．１１１１．．． − １００
ｘ − １０ ｘ
１１１ ｘ ＝ １／９
ｘ ＝ １／９９９
（循環の単位がｍ桁）
ここまでのところをまとめると，
| 一桁の時： | ｘ ＝ １／９ | → １００ ｘ ＝ １／９ |
| 二桁の時： | ｘ ＋１０ ｘ ＝ １／９ | → （１００ ＋１０１） ｘ ＝ １／９ |
| 三桁の時： | ｘ ＋１０ ｘ ＋ １００ ｘ ＝ １／９ | → （１００ ＋１０１ ＋１０2 ） ｘ ＝ １／９ |
つまり，帰納法(でいいのかな）で考えると，
ということになる．よし，掌握．
（蛇足）キミの頭がダメダメならばコンピュータに任せればＯＫ，なのか？
世界最大の素数を分散コンピューティングで探し出すプロジェクトが存在する．
ＧＩＭＰＳ http://www.mersenne.org/
http://www2.117.ne.jp/~mat/dcomp/gimps/index.html
私はBOINCに参加しているので，こちらにはノータッチですが，2005年末に「42番目のメルセンヌ素数2^25964951-1（781万6230桁）発見」したらしい．
６．０６０６０６．．．の問題を１０分間考えても解けなかったので，同じように巨大な循環数を表す分数をコンピュータで探し出そうか，などと，考えたのですが，まぁ，解き方が分かったので止めました．しかし，もしコンピュータで求めるとしたらどうすれば良いのだろうか．分母，分子を総当りで調べる，つまり１／１からスタートして，９９９９９９９．．．．／９９９９９９９．．．．という風にそれぞれ１ずつ増やして行くのだろう．
問題は，
（１）「循環数になっているか，どうかをどのように判断するのか」
（２）「どの組み合わせは無駄だから飛ばすのか」
でしょう．たとえば，ｘ／ｙ＝１２３４１２３４１２３４１２３４１２３４．．．．と（たかだか倍精度程度の浮動小数点型で得られた計算結果が）続いていても，計算精度を超えたその先で．．．１２３４９．．．と崩れている可能性がある．計算をコンピュータに任せる訳にはいかない．ヒトが手で計算するように計算させて，余りが”以前と同じ数字”になっていることを判断して，初めて循環していると判断できる．
| （例） １２３／９９９ １２３／９９９ ＝ ０ 余り １２３ １２３０／９９９ ＝ １ 余り ２３１ （＝１２３０−９９９） ２３１０／９９９ ＝ ２ 余り ３１２ （＝２３１０−１９９８） ３１２０／９９９ ＝ ３ 余り １２３ （＝３１２０−２９９７） お，一致した．循環だ． |
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